数学方法及其特点 ①数学方法的含义 数学方法是指将数学成果工具化 ，利用数学所提供的概念 、 理论和规律 ，对客观事物进行量 、序 、形的分析 、推导和计算 ，． 揭示其规律性的一种方法 。 数学是人类最早发展起来的科学之一 。客观存在的一切事物 都是质和量的统一体 ，这为数学撇开客观对象的其他一切特性 ， 只抽取各种量 ，量的变化以及量之间的关系 ，在抽象的纯粹的形 态上加以研究提供了可能性 。数学理论不仅能刻画出客观世界量 的规律 ，而且能总结出各种在量之间进行推导和演算的方法 。因 此 ，对数学的运用程度 ，也是一门科学成熟的标志 。当某门科学 找到了相应的数学手段来表述自己 概念的相互联系时 ，就证明它 达到了更高的逻辑水平和理论水平 ，达到了更有效地解释和预见 的可能性。 ②数学方法 的特点 数学方法的基本特点是高度的抽象性 、形式化 、精确性 以及 适用的普遍性 。具体来说有以下 几个方面 ： 第一 ，发表职称论文数学方法具有逻辑性和可靠性 。现代科学概念 、科学 理论和科学体系都有其严谨的逻辑关系 ，这都是借 助数学方法才 获得的 。因为在数学中 ，任何命题 、公式都需要经过严格的逻辑 证明才能确立起来 ；数学推理更是严守形式逻辑的基本法则 ，从 而保证了从某一前提推导出的结论在逻辑上是无懈可击的 。当代 数学以其逻辑性和可靠性 ，成为现代科学必备的重要研究工具 。 正如爱因斯坦所说 ：“数学受到特殊的尊重 ，一个理由是它的命 题是绝对可靠和无可争辩的 ；但是数学之所以有高声誉 ，还有另 －个理 由，那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性 ， 没有数学 ，这些科学是达不到这种可靠性的 。 第二 ，数学方法具有抽象性和形式化 。数学采用独特的 、高 度抽象的符号筑起自 己 的 “ 王国” ，形成自身的形式化语言 。当 数学语言进入科学领域时 ，也把其特有的抽象概括力带了进来 ， 从而使我们原来依靠大量词汇和语法关系表达的内容变得简练 、 明晰、高度概括 ，进入了科学抽象的新层次 。比如，引力场这样 的对象 ，如果没有非欧几何语 言的描述 ，是很难把握的 。数学独 具的抽象能力 ，使它成为一种思想工具 ，借助它 ，人们才有可能 深入到事物的本质 。 第三 ，数学方法具有严密性和精确性 。在数学中 ，对概念的 表述 ，对定理的逻辑推导和证明 ，对量的关系的比较或演算 ，都 是在某种规则的符号系统中 ，运用着一套形式化的语言进行的 ， 在逻辑上具有严密性 ，在结果上具精有确性 。例如 ，在电动力学 中，著名的麦克斯韦偏微分方程组 ，就严密且精确地描述了经典 电磁理论的全部基本定律 。 第四 ，数学方法具有普遍性和广泛性 。自然界中任何物质形 态及其运动形式无不具备 一定的空 间形式和数量关系 ，这就决定 了数学方法必然广泛适用于科学技术的 一切领域。这是由于数学可以以其独特的抽象符号一一形式系统 ，应用到各类具体事物中 去。同一个符号形式系统可以运用到不同的领域或对象 ，如一个 微分方程 ，可以运用到物理学中 ，也可以运用到化学中 。正是由 于数学的这些特点 ，决定了它具有应用的普遍性 。特别是现代数 学的许多新的分支日益完善 ，为数学工具广泛而有效的应用创造 了良好的条件。 数学模型方法 数学方法在科学研究中的实际应用没有固定不变的模式 。学 科性质不同 ，学科发展程度不同 ，数学应用的内容 、程度 和方式 也不相同 。一般来说 ，有这样几方面的运用 ：利用数学对观察实 验的资料进行数值分析 ，建立客体的数 学模型 ；通过数学模型的 研究 ，揭示研究对象的运动规律 ；运用公理化方法 整理科学成 果 ，建立理论体系 。其中数学模型方法最常用 、最重要 。 ①数学模型及其分类 所谓数学模型是指描述研究对象主要因素的数量关系或 空间 形式的数学表达式 。它包含数学结构以及该结构中的元素 、定 义 、公理、命题 、算法等与实际研究对象之间的对应关系 。“定 量研究客观事物时 ，科学工作者的责任首先是建立数学模型 ，以 抽象实体的主要特征” 。由于现代测量技术和数字处理技术有了 飞速的发展 ，信息越来越多地转化为数量 ，并且人们处理信息的 能力也越来越强 ，从而为广泛使用数学模型提供了物质基础 。 一般来说 ，所建立的数学模型应符合 ：（ a ） 既要反映现实原型的本质特征或关系 ，又要加以合理的简化 。（ b ） 在数学模型上 要能够对所研究的问题进行理论分析 、逻辑推导 ，并能得出正确 的数学解。（ c ） 在数学模型上求出的数学解要能回到具体研究对 象中去说明和解决实际问题 。 由于研究对象性质的差异 ，用来刻划它的内外关系所使用的 数学工具是不同的 ，所获得的数学模型也就不相同 。通常数学模 型有以下几种类型 ： 一是确定性数学模型 ，用于描述自然界中的必然现象 。一般 可用各种方程式 （ 代数方程 、微分方程 、积分方程 、差分方程 等） 来描述 ，其中用得最多的是微分方程 ，特别是偏微分方程 。 同一个微分方程常常可以描述不同的物理过程 ，这说明不同质的 物理过程有其内在的统一性 。正如列宁指出的 ：“ 自然界的统一 性显示在关于各种现象领域的微分方程式的 ‘ 惊人的类似 ’ 中。” 表明这类现象的产生和变化服从确定的因果关系 。 二是随机性数学模型 ，用来刻划现实世界中的或然现象 。它 用概率论和数理统计方法 ，研究具有较大规模或多次出现的随机 事件 ，以掌握其发展趋势 ，了解各种可能出现的结果的比例分 布 。自然界的或然现象 ，它们没有确定的因果关系 ，因而它们不 服从微分方程所描述的规律性 。但当这类偶然现象由大量成员构 成或出现大量次数重复时 ，就呈现一定的规律性 ，即在大量随机 现象的统计平均值中反映这种规律性 。如要研究气体分子的运动 规律 ，对于单个气体分子 ，其运动完全是随机的 、杂乱的 ，而对 于大量分子构成的系统而言 ，其分子运动速度的分布呈现一定的 规律性 。物理学家用数理统计理论建立起的数学模型是 ： du = N ( m/ 且 KT ) /Vb du （ 其中 b = e / mu/ kT ) 这个数学模型辩证地反映了气体分子运动在微观上的随机性 和在宏观上的确定性的对立统一 。 三是突变性数学模型 ，用于描述自然界 中的突变现象 。微分 方程是建立各种连续变化的必然现象的数学模型工具 ，但对于一 些不连续变化的现象 ，即突变现象 ，是无能为力的 。在自然界和 社会中 ，突变现象比比皆是 ，如雷击 、地震 、物相变化 、胚胎变 异 、材料断裂 、金融危机 、企业破产等 。为了避免突变所造成的 灾难 ，并利用突变造福人类 ，从 世纪 年代起 ，人们就开始 从理论上研究突变现象的特点和规律 。 年 ，法国著名 的拓扑 学家托姆出版了 《结构稳定性和形态发生学》 一书 ，标志着突变 理论这一新的数学分支学科的诞生 。突变理论对自然界中大量存在的非连续变化的 突变现象 ，从控制变量和状态变量的关系上作 出描述 ，从而用数 学语言清晰 地阐明事物变化中连续中断的原 因，揭示事物的质变方式 是如何依赖条件而变化的。 四是模糊性数学模型 ，用于描述自然界的模糊现象 。现代数 学的基础是集合论 ，集合论的特征是 一个事 物要么属于这个 集 合 ，要么不属于这个集合 ，二者必居其一 。这就限制了集合论只 能描述非此即彼 、界限分明的现象 ，但在现实中客观事物并非都 是非此即彼的 。如高个子 、胖子 、漂亮等 ，这些具有明显中介过 渡差异性的现象和信息都呈现出 “亦此亦彼” 性 ，即模糊性。如 何解决这类问题 ， 年 ，美国数学家查德发表了题为 《模糊集 合》 的论文 ，标志着模糊数学理论的诞生 。模糊数学产生几十年 来 ，在沟通经典数学的精确性和现 实世界的模糊性方面迈出了重 要的一步 ，产生了模糊拓扑 、模糊概率 、模糊图论 、模糊逻辑等 新分支学科 。由于理论上的不断完善 ，模糊数学的应用范围也日 益扩展 ，目前已广泛应用于人工智能 、医疗诊断 、系统工程 、图 像识别 、情报处理 、自动控制、心理学 、社会学等领域 。 ②数学模型方法的主 要步骤 数学模型方法一般要围绕这样几个步骤进行 ： 第一步 ，确定建立模型的目标和应用范围 。即根据相关理论 分析该研究领域哪些是 常量和变量，哪些是已知和待求的量 。这 一步骤也可称之为筛选和确定 “ 基本量” ，主要是进行分析工作 ， 从诸多相关量 中挑选出能反映研究对象的规定性并能刻画其状 态 、特征和变化规律的基本量 ，这是成功地建 立数学模型的基 础。 第二步 ，简化 、抽象研究对象的要素及其 量的关系 ，建立模 型形式 。数学模型只能反映最重要的 量和量的关系 ，而不能也不 可能全部反映 。因此要通过简化和抽象来反映最重要的 基本量之 间的关系 ，通过提出必 要的假设的方法弥补已知条件的不足 ，规 定大致求解方向 。然后选择适当模型 ，建立相应的数学关系式 。
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