文章导读
总览 评价 王毅 1，* ， 张滨 2， （ 1、 大连理工大学数学科学学院，辽宁 大连 116024； 2、 大连理工大学数学科学学院，大连 116024； ） 摘要： 设f(x)=∑ i=0^n aix^i是一个n次正系数多项式,它的p次Hadamard幂是多项式f^[p](x)=∑ i=0^n a i^px^i.一个长
王毅1，*， 张滨2，
（
1、大连理工大学数学科学学院，辽宁 大连 116024； 2、大连理工大学数学科学学院，大连 116024； ）
摘要：
设f(x)=∑ i=0^n aix^i是一个n次正系数多项式,它的p次Hadamard幂是多项式f^[p](x)=∑ i=0^n a i^px^i.一个长期没解决的猜想是：设p>1,若多项式f(x)仅具实零点,则其p次Hadamard幂f^[p]}(x)亦然。本文证明此猜想当n=3时成立,并举例说明当n=4时不成立。本文也证明存在正数Pn,使得当p>Pn,若$n$次正系数多项式f(x)仅具实零点,则其p次Hadamard幂f^[p](x)亦然。
关键词：
组合数学；实零点多项式；Hadamard幂
WANG Yi*， ZHANG Bin
（
School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian116024； ）
Abstract：
Let f(x)=∑ i=0^n aix^i be a polynomial with positive coefficients and p>0.The pth Hadamard power of f(x) is the polynomial f^[p](x)=∑ i=0^n ai^px^i.It is conjectured that if f(x) has only real zeros, then so does f^[p](x) for p≥1.We verify the conjecture when n=3 and give a counterexample when n=4.We also show that there exists a positive number Pn such thatif f(x) has only real zeros, then so does f^[p](x) for p>Pn.
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