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总览 评价 刘志新 * （ 天津大学数学学院,天津,300072 ； ） 摘要： 设$k$是满足$kgeq 6$的整数. 假设$lambda_1, cdots, lambda_5$是符号不同非零整数, 并且满足$lambda_1/lambda_2$ 是无理数, 并且$eta$ 是实数.这篇论文对于任意的$arepsilon>0$, 考虑了不
刘志新*
（
天津大学数学学院,天津,300072 ； ）
摘要：
设$k$是满足$kgeq 6$的整数. 假设$lambda_1, cdots, lambda_5$是符号不同非零整数, 并且满足$lambda_1/lambda_2$ 是无理数, 并且$eta$ 是实数.这篇论文对于任意的$ arepsilon>0$, 考虑了不等式$$left|lambda_1p_1+lambda_2p_2^2+lambda_3p_3^3+lambda_4p_4^4+lambda_5p_5^k+eta
ight|<(max p_j)^{-sigma(k)+ arepsilon}$$有无穷多素数解$p_1, cdots, p_5$, 其中egin{eqnarray*}sigma(k)=egin{cases}1/64, &k=6, 7, 8,cr1/80, &k=9, 10,cr3/256, &k=11, 12,cr1/(2^{[(k-1)/6]+5}), &13 leq k leq 48, cr3/(8k^2+8k+48), &kgeq 49.end{cases}end{eqnarray*}我们的结果改进了最近的一个结果.并且,使用本文的类似方法,可以改进素变数不等次幂丢番图逼近的几个结果 .
关键词：
基础数学；数论；华林-哥德巴赫问题；丢番图不等式
Liu Zhixin*
（
School of Mathematics, Tianjin University, Tianjin 300072 ； ）
Abstract：
Let $k$ be an integer with $kgeq 6$. Suppose that $lambda_1, cdots, lambda_5$ be non-zero real numbers not all of the same sign, satisfying that$lambda_1/lambda_2$ be irrational, and $eta$ be a real number.In this paper, for any $ arepsilon>0$, we consider the inequality$$left|lambda_1p_1+lambda_2p_2^2+lambda_3p_3^3+lambda_4p_4^4+lambda_5p_5^k+eta
ight|<(max p_j)^{-sigma(k)+ arepsilon}$$has infinitely many solutions in prime variables $p_1, cdots, p_5$, whereegin{eqnarray*}sigma(k)=egin{cases}1/64, &k=6, 7, 8,cr1/80, &k=9, 10,cr3/256, &k=11, 12,cr1/(2^{[(k-1)/6]+5}), &13 leq k leq 48, cr3/(8k^2+8k+48), &kgeq 49.end{cases}end{eqnarray*}Our result gives an improvement of the recent result.Furthermore, using the similar method in this paper, we can refine some results on Diophantine approximationby unlike powers of primes.
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